閉曲面のパラメタ表示 (written 2007.6.7)
パラメタ表示の意義
ポリゴンの集合で曲面をデザインするときパラメタ表示があれば、パラメタの動く範囲を等分してポリゴンの頂点とすることが自然な考え方だ。
球面
半径Rとする。緯度θ(北半球は正,南半球は負と考える),経度φをパラメタとすると
x = R cosθcosφ y = R cosθsinφ z = R sinθ
トーラス
xz平面上の半径rの円周C1: (x-R)^2 + z^2 = r^2 & y = 0 をxy平面上の半径Rの円周C2: x^2 + y^2 = R^2 & z = 0 に沿ってsweepするとトーラスになる。
C1のパラメタ表示は
x = R + r cosθ y = 0 z = r sinθ
この点をC2に沿ってsweepするには、z軸の周りに回転させてやればよい。回転角をφとすると
行列 cosφ -sinφ 0 sinφ cosφ 0 0 0 1
を掛けてやればよい。
結果は
x = cosφ(R + r cosθ) y = sinφ(R + r cosθ) z = r sinθ